Exercice dérivée : exercices corrigés de première, méthode et pièges

Un exercice dérivée de première se résout presque toujours de la même façon : repérer la forme de la fonction (somme, produit, quotient, composée), appliquer la formule correspondante, simplifier, puis exploiter le résultat pour trouver un nombre dérivé, une tangente ou des variations. Ci-dessous, vous trouvez les formules à connaître, des exercices corrigés classés du plus simple au plus exigeant, la méthode pour l’équation de tangente et l’étude du signe de f’, ainsi que les pièges qui font perdre des points. Bonus maison : on applique la dérivation à la vitesse d’un sprinteur et à une courbe de progression en pompes, parce qu’un calcul se retient mieux quand il parle de quelque chose de concret.

Formules de dérivation à maîtriser avant tout exercice dérivée

Inutile d’attaquer un sujet si ce tableau n’est pas su par cœur. C’est l’équivalent de l’échauffement : sans lui, chaque calcul devient laborieux et les erreurs s’accumulent. Les fonctions usuelles et les règles opératoires ci-dessous couvrent l’intégralité du programme de spécialité mathématiques de première.

Une astuce de mémorisation : la règle du quotient commence toujours par u’, exactement comme celle du produit, mais avec un signe moins au milieu et v² au dénominateur. Si vous inversez l’ordre, le signe du résultat s’inverse aussi, ce qui fausse toute la suite.

Exercices de dérivation en 1ère corrigés, niveau par niveau

Les énoncés suivants sont construits comme une séance progressive : on monte la charge petit à petit. Cachez la correction, faites le calcul sur une feuille, puis comparez.

Niveau 1 : polynômes et inverse

Énoncé A. f(x) = 3x² – 5x + 7 sur ℝ. On dérive terme à terme : la dérivée de 3x² vaut 6x, celle de -5x vaut -5, la constante disparaît. Donc f'(x) = 6x – 5.

Énoncé B. g(x) = 2x³ – 4x + 1/x sur ℝ privé de 0. Chaque morceau a sa formule dans le tableau : 6x², puis -4, puis -1/x². Résultat : g'(x) = 6x² – 4 – 1/x². Mettre au même dénominateur donne g'(x) = (6x⁴ – 4x² – 1)/x², utile si l’on doit ensuite étudier un signe.

Niveau 2 : produit et quotient

Énoncé C. h(x) = (2x + 1)√x sur ]0 ; +∞[. On pose u(x) = 2x + 1 et v(x) = √x, donc u'(x) = 2 et v'(x) = 1/(2√x). La formule du produit donne h'(x) = 2√x + (2x + 1)/(2√x). Pour réunir les deux termes, on écrit 2√x = 4x/(2√x), ce qui conduit à h'(x) = (6x + 1)/(2√x). Sur l’intervalle étudié, numérateur et dénominateur sont strictement positifs : h est strictement croissante.

Énoncé D. k(x) = (3x – 1)/(x + 2) sur ℝ privé de -2. Avec u(x) = 3x – 1 et v(x) = x + 2, on a u’ = 3 et v’ = 1. Alors k'(x) = [3(x + 2) – (3x – 1)]/(x + 2)² = (3x + 6 – 3x + 1)/(x + 2)², soit k'(x) = 7/(x + 2)². Attention aux parenthèses autour de (3x – 1) : les oublier transforme le +1 en -1 et donne 5 au lieu de 7.

Niveau 3 : composée affine, racine et exponentielle

Énoncé E. m(x) = √(4x + 1) sur ]-1/4 ; +∞[. C’est la forme g(ax + b) avec g = √, a = 4 et b = 1. Donc m'(x) = 4 × 1/(2√(4x + 1)), d’où m'(x) = 2/√(4x + 1).

Énoncé F. p(x) = (x + 3)e^-2x sur ℝ. Produit de u(x) = x + 3 (u’ = 1) et de v(x) = e^-2x (v’ = -2e^-2x). On obtient p'(x) = e^-2x – 2(x + 3)e^-2x, puis en factorisant par l’exponentielle : p'(x) = (-2x – 5)e^-2x. Comme e^-2x est toujours strictement positif, le signe de p’ est celui de -2x – 5 : positif avant -5/2, négatif après.

Calculer un nombre dérivé avec le taux d’accroissement

C’est l’exercice de dérivation de première qui ouvre presque toujours le chapitre, et il revient régulièrement en contrôle parce qu’il vérifie la compréhension de la définition, pas seulement l’application de formules. Le principe : le nombre dérivé f'(a) est la limite, quand h tend vers 0, du quotient [f(a + h) – f(a)]/h.

Exemple. f(x) = x² + 3x, en a = 2.

1. On calcule f(2) = 4 + 6 = 10.
2. On développe f(2 + h) = (2 + h)² + 3(2 + h) = 4 + 4h + h² + 6 + 3h = 10 + 7h + h².
3. On forme le taux : [f(2 + h) – f(2)]/h = (7h + h²)/h = 7 + h, pour h non nul.
4. Quand h tend vers 0, 7 + h tend vers 7. Donc f est dérivable en 2 et f'(2) = 7.

Vérification rapide avec les formules : f'(x) = 2x + 3, donc f'(2) = 7. Les deux méthodes concordent, ce qui est un excellent réflexe d’autocontrôle quand le temps le permet.

Équation de tangente : la méthode qui tient en une formule

La tangente à la courbe de f au point d’abscisse a a pour équation y = f'(a)(x – a) + f(a). En reprenant la fonction précédente au point a = 2, on remplace f'(2) par 7 et f(2) par 10 : y = 7(x – 2) + 10, c’est-à-dire y = 7x – 4. Pour contrôler, il suffit de vérifier que le point (2 ; 10) appartient bien à la droite : 7 × 2 – 4 = 10. Le coefficient directeur de la tangente, lui, est toujours le nombre dérivé, ce qui permet aussi de répondre aux questions du type « en quel point la tangente est-elle horizontale ? » : on résout simplement f'(x) = 0.

Étudier les variations d’une fonction grâce au signe de f’

Voici l’exercice complet qui rassemble tout le chapitre. Soit f(x) = x³ – 3x² – 9x + 2 sur ℝ.

On dérive : f'(x) = 3x² – 6x – 9 = 3(x² – 2x – 3). Le trinôme x² – 2x – 3 a pour discriminant 4 + 12 = 16, donc deux racines : -1 et 3. On peut écrire f'(x) = 3(x + 1)(x – 3). Un trinôme est du signe de son coefficient dominant à l’extérieur des racines : f’ est positive sur ]-∞ ; -1] et sur [3 ; +∞[, négative entre les deux.

Les valeurs se calculent directement : f(-1) = -1 – 3 + 9 + 2 = 7 et f(3) = 27 – 27 – 27 + 2 = -25. Dans une copie, ce tableau doit toujours être justifié par la ligne de signe de f’, sinon la question n’est pas considérée comme traitée.

La dérivée appliquée au sport : vitesse, rythme et plateau de progression

Sur un journal d’entraînement, on manipule des dérivées sans le savoir. La vitesse est la dérivée de la distance parcourue par rapport au temps, et la pente d’une courbe de progression indique si l’on avance encore vite ou si l’on stagne.

Cas du sprint. Pendant la phase d’accélération, sur les 4 premières secondes, la distance d’un coureur est modélisée par d(t) = 0,5t² + 2t (en mètres, t en secondes). Sa vitesse instantanée vaut v(t) = d'(t) = t + 2. À t = 4 s, v(4) = 6 m/s. Pour convertir en km/h, on multiplie par 3,6 : le coureur atteint 21,6 km/h. Ce passage du m/s au km/h est d’ailleurs une conversion qu’on retrouve dans toutes les applications de course.

Cas de la progression en pompes. Un pratiquant suit un plan inspiré du guide Objectifs 100 pompes. Son maximum de répétitions, semaine après semaine, est modélisé sur [0 ; 10] par P(s) = -0,5s² + 10s + 10. Alors P'(s) = -s + 10. En semaine 2, P'(2) = 8 : il gagne environ 8 répétitions par semaine. En semaine 8, P'(8) = 2 seulement. La dérivée reste positive, donc il progresse toujours, mais de moins en moins vite : c’est la signature mathématique d’un plateau qui approche, atteint en semaine 10 avec P(10) = 60 répétitions.

Ce raisonnement vaut pour d’autres objectifs. Quand on démarre un Programme de musculation débutant, les charges augmentent vite les premières semaines, puis la courbe s’aplatit : sa pente diminue. Même logique pour la Traction assistée, où l’on peut suivre la baisse de l’assistance élastique : une fonction décroissante, donc une dérivée négative, tant que l’on se rapproche de la traction stricte. Sur un exercice d’isolation comme le Facepull, noter la charge chaque semaine permet de calculer un taux de variation moyen et de repérer le moment où il faut changer de stimulus. Enfin, si l’objectif consiste à Perdre des cuisses, le tour de cuisse mesuré dans le temps est une fonction que l’on souhaite décroissante, et une pente proche de zéro sur plusieurs semaines invite à revoir l’alimentation ou le volume d’activité, idéalement avec un professionnel de santé si besoin.

Ces modèles restent des simplifications pédagogiques : une vraie progression n’a jamais la régularité d’un polynôme. Ils ont toutefois un intérêt réel pour réviser, car ils obligent à interpréter le signe et la valeur de la dérivée, exactement ce que demandent les questions de fin d’exercice.

Derivation exercice 1ère ES : que réviser depuis la réforme du lycée ?

La série ES n’existe plus depuis la réforme du baccalauréat entrée en vigueur à la rentrée 2019 en classe de première. Les élèves qui cherchent un exercice de dérivation de 1ère ES travaillent aujourd’hui en spécialité mathématiques, ou se préparent avec d’anciennes annales. Ces vieux sujets restent exploitables pour s’entraîner sur les polynômes, les quotients simples et les problèmes économiques (coût marginal, bénéfice maximal), car la mécanique de dérivation n’a pas changé.

En revanche, le programme actuel de spécialité, publié au Bulletin officiel spécial du 22 janvier 2019, ajoute des éléments absents de l’ancienne série ES en première : la fonction racine carrée, la composée de la forme g(ax + b) et la fonction exponentielle, introduite dès la première. Autre changement important pour 2026 : le ministère de l’Éducation nationale a créé une épreuve anticipée de mathématiques passée en fin de première, dont la première session a eu lieu en juin 2026. Elle dure deux heures et commence par une partie d’automatismes sous forme de questionnaire à choix multiples, suivie d’exercices. Les calculs de dérivées simples font partie des automatismes attendus : savoir dériver un polynôme ou lire un nombre dérivé sur un graphique sans hésiter devient donc un vrai enjeu de note. Pour les modalités exactes de la session 2027, consultez le site officiel du ministère et les indications de votre établissement.

Erreurs fréquentes qui coûtent des points sur un exercice de dérivée

• Croire que (uv)’ = u’v’. C’est l’erreur la plus répandue. Le produit des dérivées n’est jamais la dérivée du produit.
• Inverser les termes du quotient. Écrire uv’ – u’v au lieu de u’v – uv’ change le signe de toute la dérivée, et donc tout le tableau de variations.
• Oublier le facteur a dans g(ax + b). La dérivée de e^-2x est -2e^-2x, pas e^-2x.
• Négliger l’ensemble de dérivabilité. La racine carrée est définie en 0 mais n’y est pas dérivable ; un quotient n’est pas dérivable là où son dénominateur s’annule.
• Développer au lieu de factoriser. Pour étudier un signe, une forme factorisée se lit immédiatement, alors qu’une forme développée oblige à refaire des calculs.
• Confondre f(a) et f'(a) dans la tangente. Le coefficient directeur est f'(a), l’ordonnée du point de contact est f(a).
• Diviser par h trop tôt. Dans le taux d’accroissement, on simplifie par h seulement après avoir développé et réduit le numérateur.

Pour progresser, le plus efficace reste la régularité : quelques calculs courts plusieurs fois par semaine valent mieux qu’une longue séance la veille du contrôle. C’est le même principe qu’à l’entraînement, et noter ses erreurs récurrentes dans un carnet aide à ne plus les reproduire.